3.250 \(\int \frac {\tanh ^2(x)}{(a+b \tanh ^2(x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=88 \[ -\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}} \]

[Out]

arctanh((a+b)^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))/(a+b)^(5/2)-1/3*(2*a-b)*tanh(x)/a/(a+b)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(
1/2)-1/3*tanh(x)/(a+b)/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.13, antiderivative size = 88, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {3670, 471, 527, 12, 377, 206} \[ \frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}}-\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) - Tanh[x]/(3*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2
)) - ((2*a - b)*Tanh[x])/(3*a*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 471

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] - Dist[e^n/(n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
+ 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[n
, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\tanh ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{5/2}} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1+2 x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{3 (a+b)}\\ &=-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int -\frac {3 a}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{3 a (a+b)^2}\\ &=-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{(a+b)^2}\\ &=-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^2}\\ &=\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{5/2}}-\frac {\tanh (x)}{3 (a+b) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}}-\frac {(2 a-b) \tanh (x)}{3 a (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 7.82, size = 259, normalized size = 2.94 \[ \frac {\cosh ^4(x) \coth (x) \left (-12 (a+b)^3 \tanh ^6(x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right ) \, _2F_1\left (2,2;\frac {9}{2};-\frac {(a+b) \sinh ^2(x)}{a}\right ) \sqrt {-\frac {\sinh ^2(x) \cosh ^2(x) \left (a^2+a \left (b \tanh ^2(x)+b\right )+b^2 \tanh ^2(x)\right )}{a^2}}-35 a \text {sech}^2(x) \left (-5 a-2 b \tanh ^2(x)\right ) \left (a \text {sech}^2(x) \left (a \left (-\tanh ^2(x)-3\right )-4 b \tanh ^2(x)\right ) \sqrt {-\frac {\sinh ^2(x) \cosh ^2(x) \left (a^2+a \left (b \tanh ^2(x)+b\right )+b^2 \tanh ^2(x)\right )}{a^2}}+3 \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^2 \sin ^{-1}\left (\sqrt {-\frac {(a+b) \sinh ^2(x)}{a}}\right )\right )\right )}{315 a^4 (a+b)^2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \left (\frac {b \tanh ^2(x)}{a}+1\right ) \sqrt {-\frac {(a+b) \sinh ^2(x) \cosh ^2(x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )}{a^2}}} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Tanh[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

(Cosh[x]^4*Coth[x]*(-12*(a + b)^3*Hypergeometric2F1[2, 2, 9/2, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*Tanh[x]^6*(a + b*Tanh
[x]^2)*Sqrt[-((Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a^2 + b^2*Tanh[x]^2 + a*(b + b*Tanh[x]^2)))/a^2)] - 35*a*Sech[x]^2*(-5*a -
2*b*Tanh[x]^2)*(3*ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*(a + b*Tanh[x]^2)^2 + a*Sech[x]^2*(-4*b*Tanh[x]^2 +
a*(-3 - Tanh[x]^2))*Sqrt[-((Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a^2 + b^2*Tanh[x]^2 + a*(b + b*Tanh[x]^2)))/a^2)])))/(315*a^4
*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a^2)]*(1 + (b*Tanh[x]^
2)/a))

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.60, size = 6507, normalized size = 73.94 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a
*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^3 - a*b^2 + 7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6
+ 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*
cosh(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2 + 30*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^
6 + 15*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^4 + a^3 - a*b^2 + 3*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 +
2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 - a*b^2)
*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^
3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*
(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (
70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(
a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2
+ 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)
*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x
)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18
*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (
a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(
x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a
^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x)
+ 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)
) + 3*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^
2)*sinh(x)^8 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^3 - a*b^2 + 7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8
*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cos
h(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2 + 30*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2)*sin
h(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cos
h(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 +
15*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^4 + a^3 - a*b^2 + 3*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 + 2*a
^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 - a*b^2)*co
sh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cos
h(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(
a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(
(a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*((3*a
^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 6*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (3*a^3 + 5*a^2*b
+ a*b^2 - b^3)*sinh(x)^6 + 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3 + 5*(3*a^3
+ 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 - a^2*
b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 3*a^3 - 5*a^2*b - a*b^2 + b^3 - 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2
+ 3*(5*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 - a^3 + a^2*b + a*b^2 - b^3 + 6*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*c
osh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 -
(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^8 +
8*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b
^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*sinh(x)^8 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)
*cosh(x)^6 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5 + 7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10
*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b
^5 + 8*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^3 + 3*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b
^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^
4 + 3*a*b^5)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5 + 35*(a^6 + 5*a^5*b
+ 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^4 + 30*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b
^4 - a*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^
5 + 10*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^3 + (3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 +
6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a
*b^5)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^6 + a^6 + 3*a^5*b
+ 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5 + 15*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*
cosh(x)^4 + 3*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^6 +
5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^7 + 3*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 -
3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^5 + (3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x)^3 + (a
^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x))*sinh(x)), -1/6*(3*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*
cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^3 - a*b^2)*
cosh(x)^6 + 4*(a^3 - a*b^2 + 7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cos
h(x)^3 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 2*a^2*b +
a*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2 + 30*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b +
a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*a^2*b
+ a*b^2 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^4 + a
^3 - a*b^2 + 3*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^
3 - a*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 - a*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*ar
ctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)
*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 -
a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x)
)) + 3*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b
^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(a^3 - a*b^2 + 7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 +
8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*co
sh(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2 + 30*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2)*si
nh(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*co
sh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 4*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6
+ 15*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^4 + a^3 - a*b^2 + 3*(3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 + 2*
a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^3 - a*b^2)*cosh(x)^5 + (3*a^3 - 2*a^2*b + 3*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 - a*b^2)*c
osh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)
/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)
^2 + a + b)) + 2*sqrt(2)*((3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 6*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x
)*sinh(x)^5 + (3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*sinh(x)^6 + 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*(a^3 - a
^2*b - a*b^2 + b^3 + 5*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 -
b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 3*a^3 - 5*a^2*b - a*b^2 + b^3 - 3*(a^3 - a
^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2 + 3*(5*(3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 - a^3 + a^2*b + a*b^2 - b^3 + 6
*(a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 6*((3*a^3 + 5*a^2*b + a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - a^
2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)
*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 +
5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^8 + 8*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)*sinh(x)
^7 + (a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*sinh(x)^8 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 -
2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^6 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5 + 7*(a
^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2
+ 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5 + 8*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^
3 + 3*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*
a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x)^4 + 2*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4
+ 3*a*b^5 + 35*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^4 + 30*(a^6 + 3*a^5*b + 2
*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3
+ 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^5 + 10*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^3 + (
3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b
^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*
b^5)*cosh(x)^6 + a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5 + 15*(a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2
*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2*b^4 + 3*a*b^5)*co
sh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^6 + 5*a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 5*a^2*b^4 + a*b^5)*cosh(x)^7 + 3*(a^6 + 3*a
^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x)^5 + (3*a^6 + 7*a^5*b + 6*a^4*b^2 + 6*a^3*b^3 + 7*a^2
*b^4 + 3*a*b^5)*cosh(x)^3 + (a^6 + 3*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 - 3*a^2*b^4 - a*b^5)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Warn
ing, integration of abs or sign assumes constant sign by intervals (correct if the argument is real):Check [ab
s(t_nostep+1)]Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacin
g 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution var
iable should perhaps be purged.Evaluation time: 0.5Error: Bad Argument Type

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.09, size = 454, normalized size = 5.16 \[ -\frac {\tanh \relax (x )}{3 a \left (a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )\right )^{\frac {3}{2}}}-\frac {2 \tanh \relax (x )}{3 a^{2} \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}}-\frac {1}{6 \left (a +b \right ) \left (\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{6 \left (a +b \right ) a \left (\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{3 \left (a +b \right ) a^{2} \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}-\frac {1}{2 \left (a +b \right )^{2} \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{2 \left (a +b \right )^{2} a \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}+\frac {\ln \left (\frac {2 a +2 b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}{\tanh \relax (x )-1}\right )}{2 \left (a +b \right )^{\frac {5}{2}}}+\frac {1}{6 \left (a +b \right ) \left (\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{6 \left (a +b \right ) a \left (\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{3 \left (a +b \right ) a^{2} \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}+\frac {1}{2 \left (a +b \right )^{2} \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}+\frac {b \tanh \relax (x )}{2 \left (a +b \right )^{2} a \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}-\frac {\ln \left (\frac {2 a +2 b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}{1+\tanh \relax (x )}\right )}{2 \left (a +b \right )^{\frac {5}{2}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x)

[Out]

-1/3*tanh(x)/a/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2)-2/3/a^2*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)-1/6/(a+b)/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(
x)-1)*b+a+b)^(3/2)+1/6*b/(a+b)/a/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(3/2)*tanh(x)+1/3*b/(a+b)/a^2/((tanh(x)
-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-1/2/(a+b)^2/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^2
/a/((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b*tanh(x)+1/2/(a+b)^(5/2)*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(
1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))+1/6/(a+b)/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)
^(3/2)+1/6*b/(a+b)/a/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(3/2)*tanh(x)+1/3*b/(a+b)/a^2/((1+tanh(x))^2*b-2*(1
+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)+1/2/(a+b)^2/((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)+1/2/(a+b)^2/a/((1+tanh(
x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*b*tanh(x)-1/2/(a+b)^(5/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tan
h(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\tanh \relax (x)^{2}}{{\left (b \tanh \relax (x)^{2} + a\right )}^{\frac {5}{2}}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)^2/(b*tanh(x)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \frac {{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2}{{\left (b\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2+a\right )}^{5/2}} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^2/(a + b*tanh(x)^2)^(5/2),x)

[Out]

int(tanh(x)^2/(a + b*tanh(x)^2)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\tanh ^{2}{\relax (x )}}{\left (a + b \tanh ^{2}{\relax (x )}\right )^{\frac {5}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)**2/(a+b*tanh(x)**2)**(5/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)**2/(a + b*tanh(x)**2)**(5/2), x)

________________________________________________________________________________________